A cura di Marpa Crisciani
Breve introduzione storica
Già nell’800 Poincaré pose le radici di quella che oggi viene chiamata Teoria del Caos quando fece notare al mondo scientifico che minime variazioni alle condizioni iniziali di un evento potevano portare, lungo lo sviluppo di questo, ad effetti macroscopici nei risultati finali.Fu però nei primi anni del ‘900 (anni che videro emergere anche personaggi come Freud) che un particolare clima culturale permise l’approfondimento di tale questione.
Teorema di Fourier: un segnale complesso è generato dalla somma di più segnali semplici:
Figura 1 - Analisi armonica
In questo caso il segnale complesso superiore è generato dalla somma dei
tre segnali semplici sottostanti.
Questa viene chiamata analisi armonica.
Un segnale complesso può quindi essere originato dal prodotto dei più componenti fondamentali semplici:
Figura 2 - Analisi polispettrale
In questo caso il segnale complesso superiore, simile a quello
precedente, è il risultato del prodotto dei due segnali semplici
sottostanti.
Questa viene chiamata analisi polispettrale ed è l’approccio corretto
dell’analisi di un fenomeno non lineare. L’analisi armonica ne è un
caso particolare.
Anche questo, però, è un esempio di determinismo puro. La fisica classica si basa sempre su un determinismo di questo tipo.
Figura 3 - Rilevazione della velocità, posizione imprecisa.
Con il Principio di Indeterminazione di
Heisenberg torna ad essere imposrtante, in Fisica, il caso.Importanza che però portò anche ad una degenerazione del concetto e, per un certo periodo, tutto ciò che risultava sconosciuto veniva etichettato come casuale.
Si possono riconoscere andamenti caotici all’interno del ciclo dell’attività solare e nella propagazione delle onde sismiche.
A livello pratico, la Teoria del Caos risulta essere una descrizione della realtà in termini probabilistici, piuttosto che determistici. Tutta la fisica è leggibile in termini probabilistici, ma a livello macroscopico tale previsione probabilistica risulta ben approssimata da una previsione di tipo deterministico.
I frattali
E’ in questo clima di fermento scientifico che si sono formate le basi dell’attuale Teoria Frattale.
Si notò come i risultati di discipline diverse, quali la Geometria, la Fisica e l’Informatica, convergessero dimostrando una stretta parentela. Ciò che ne venne fuori è descrivibile da tre punti di vista:
Nel primo ventennio del ‘900 Gaston Julia stava studiando l’andamento di una particolare serie matematica ricorsiva per definirne i confini della rappresentazione grafica. Il risultato a cui pervenne fu che tale frontiera era frastagliata all’infinito e che riproponeva sempre la stessa struttura a varie scale di grandezza. Il confine di questa rappresentazione grafica non poteva mai essere approssimato da un segmento di retta.
Si è riusciti a rappresentare la scoperta di Julia solo con l’avvento del computer.
Figura 4a - Esempi di insiemi di Julia
Figura 4b - Esempi di insiemi di Mandelbrot
Negli anni ’80
Mandelbrot definì l’insieme che porta il suo nome e che altro non è che la somma di numerosi insiemi di julia.
Figura 5 - Curva di Von Koch
Questa proprietà è nota come autosimilarità ed è tipica dei frattali. E’ per questa proprietà che i frattali, che sono delle curve (quindi unidimensionali), coprono una frazione di superficie del piano (quella che viene chiamata dimensione frattale).
Lorenz
: stava lavorando ad un modello atmosferico quando notò che tale modello presentava delle configurazioni che sembravano casuali, caotiche. Ragionando sul problema si rese conto che la causa di questo effetto era la non linearità , giungendo a sostenere, dunque, l’impossibilità pratica della previsione.Approfondendo i suoi studi scoprì un ordine in quel caos: un modulo fondamentale che si riproponeva ricorsivamente e di cui minime variazioni portavano a nuove evoluzioni. Per la forma a farfalla di tale modulo si denominò tale situazione effetto farfalla. Fu
Lorenz stesso a definire quel modulo un Attrattore Strano.
Figura 6 - Attrattore di Lorenz
Figura 7 - Attrattore di Rossler
Quindi un frattale è definito da:
La Dimensione Frattale è quella proprietà che definisce propriamente i frattali: un frattale è un oggetto con dimensione frattale maggiore di 1. La Dimensione Frattale è quella frazione di area di un piano che viene ricoperta da una curva frattale, aumentata di un’unità.
E’ una cosa diversa dalla dimensione topologica a cui siamo abituati che è, invece, sempre pari ad un numero intero e che, in una curva, è sempre uguale a 1.
Osservazioni in natura
I fenomeni della natura sembrano regolari, ma guardando bene risultano molto irregolari. La natura aderisce meglio alla geometria frattale che a quella classica.
Possiamo vederne degli esempi:
Nel 1983, Mandelbrot scoprì che la distribuzione dei frammenti di un materiale, qualunque sia la causa della sua frantumazione, segue una legge di potenza frattale con D uguale a circa 2,5.
Si è visto che anche le fratture di un terremoto possono essere descritte frattalmente. Nel caso del terremoto colpisce il fatto che l’andamento frattale non riguardi la sola distribuzione spaziale delle fratture, ma anche quella temporale di terremoti di diversa intensità.
Ipotesi di ragionamento
Anche nelle opere d’arte sono presenti regole frattali (autosimilarità…), è come se, a livello intuitivo, il concetto di ciò che oggi chiamiamo frattale sia da sempre presente nella conoscenza che l’uomo ha del mondo e, forse, è proprio questa sintonia con il reale a contribuire alla "bellezza" di un’opera d’arte.
Esiste una corrente artistica attuale che studia l’applicazione di regole frattali nelle opere d’arte, uno degli esponenti è Claudio Ciancia.
Forse questa ‘intuibilità’ della descrizione frattale della realtà sta a significare che esiste una sintonia anche con il nostro funzionamento mentale (che è pur sempre ‘realtà’).
Per descrivere l’azione di una persona non mi è necessario sapere se questa ha deciso o meno di effettuarla, ma la persona in questione ha la netta sensazione della propria decisione.
Ma il nostro emisfero sinistro non accetta "buchi di significato" (dimostrabile attraverso l’ipnosi o il test di Wada) e tale consapevolezza di una "decisione" potrebbe far parte di una nostra interpretazione di quella che invece sarebbe un’emergenza frattale, una sorta di impossibilità a fare qualcosa di diverso da quello che siamo convinti di aver ‘deciso di fare’.
Interpretare tale emergenza frattale come una decisione analizzabile deterministicamente potrebbe essere un’esigenza del nostro funzionamento mentale interpretativo che, per ragioni adattive, si è evoluto in direzione del determinismo puro.
In pratica non abbiamo, però, alcun interesse a validare o meno questa ipotesi in quanto quella del "libero arbitrio" è un’interpretazione del nostro funzionamento mentale perfettamente funzionale a livello descrittivo e, così come la Legge della Gravitazione Universale di Newton non è il motivo per cui si muovono i pianeti, ma una valida interpretazione del loro moto, può continuare fungere da chiave di lettura dei nostri studi.
